Page 31 - 理化检验-物理分册2019年第五期

吴芳堤, 等: 金属材料洛氏硬度与抗拉强度的相关关系

差的平方和最小, 也就是 ( ) 最小, 由微 表 ３ 洛氏硬度与抗拉强度的方差分析表
２
∑ y i －^ y i
Tab．３ Varianceanal y sistableofRockwellhardness
积分 得 线 性 回 归 方 程 的 b ＝L x y L xx ＝９４５．１７ /
/
andtensilestren g th
６４．２８＝ １４．７０４ , a＝ y－ bx＝ ８９３．５６－１４．７０４×２７＝
来源 平方和 自由度 F
４８６．５５ .
回归 SR＝１３８９７．７８ f＝１
求得的一元线性回归方程为 ７７．６９８
残差 SE＝９０８２．７３ fE ＝１４
y＝ ４９６．５５＋１４．７０４x ( ６ )
总体 ST＝２２９８０．５１ fT ＝１５
４ 一元线性回归方程的显著性检验 多, 因而求得的抗拉强度虽然是不确定的, 但抗拉强
建立回归方程的目的, 是为了将两个具有线性 度值在一定范围内变动.

关系的变量用公式表达出来, 由于数据来源于试验, 当取x ０＝２８．１ 时, 则得到 y i 的预测值为:
y ０＝
试验中不可避免地会产生误差.可以通过统计技术 ４９６．５５＋１４．７０４×２８．１＝９０９．７３ .预测区间为(
y ０－
y ０＋ δ ), δ 的精确表达式为
方法如方差分析对所求得的方程进行显著性检验, δ ,
即检验所求得的方程是否有意义 [ ５ ] . １
δ＝ σt １ － a / ２ n－２ ) １＋ ＋ x ０ － ２
(
(
x )/ L xx
试验中造成数据波动的原因有两个: 一个是由 n
于自变量x 的取值不同, 得到不同的 y 值; 另一个 ( １１ )
是除了 自 变 量 x 以 外 的 一 切 因 素, 统 称 为 随 机
S E ９０８２．７３
而 σ＝ ＝ ＝２５．４７ , 若 取 a＝
误差. fE １４
用方差分析表达为: ０．０５ , 则置信度为 ９５％ 的预测区间, 则由n＝１６ , a＝
回归平方和 ０．０５ , 查t 分布 t １－a / ２ n－２ ) ＝t ０．９７５ １４＝２．１４５ , x ) ＝
(

Ｇ )
S R ＝ ∑ ( ^ y －y ２ ( ７ ) ４３２ ＝２７ , L xx ＝６４．２８ .故 有: δ＝２５．４７×２．１４５×
１６
残差平方和
１ ( ２８．１－２７ )
２
S E ＝ ∑ ( ) ( ８ ) １＋ １６ ＋ / ６４．２８ ＝ ５６．８１ . 预 测 区 间 为:
y i －^ y
总体平方和 ( ８５２．９２ , ９６６．５４ ).
( ９ ) 也就是说当洛氏硬度值为 ２８．１ 时, 能有置信度
S T ＝S R ＋S E
计算比 为 ９５％ 概 率 的 把 握, 预 测 抗 拉 强 度 为
/
S R f R ８５２．９２~９６６．５４MPa , 预测区间示意图如图 ４ 所示.
F ＝ ( １０ )
/
S E fR 由图 ４ 可知, 当 x ０ 越靠近 时, 区间宽度越窄, 预
x
fT 为总
式中: fE 为残差自由度,
fR 为回归自由度,
测的精度越高.
自由度.
( , )
对于给定显著性水平 a , 当 F＞F １－a fR fE
时, 认为回归方程是显著的, 也就是说求得的回归方
程是有意义的.
具体计算如下: S T＝L yy ＝ ２２９８０．５１ , fT＝ n－
１＝１５ ; S R ＝ bL x y ＝１４．７０４×９４５．１７＝１３８９７．７８ ,
fR ＝ １ ; S E ＝S T －S R ＝２２９８０．５１－１３８９７．７８＝
９０８２．７３ . 图 ４ 预测区间图
列出方差分析表见表 ３ , 在a＝０．０５ 时, 查 F 分 Fi g ．４ Dia g ramofthe p redictioninterval
(,
布表, F ０．９５ １１４ ) ＝４．６０ , 经计算, 求得的 F＞４．６０ , 文中样本空间n 仅取１６ , 所取硬度范围为２１~
这说明在a＝０．０５ 水平上回归方程是显著的. ３０HRC , 实际中的抗拉强度与洛氏硬度之间的回归

５ 利用回归方程进行预测 问题应取足够的样本空间, 从而建立起回归关系式.
当样本空间足够大时( 如n＞３０ ), t 分布近似正
当给出一个洛氏硬度值, 代入上面方程, 理论上 .
x
态分布, 如果x ０ 与 相差不大时, δ≈σu １－a / ２
就 可以求得抗拉强度, 事实上影响硬度值的因素较 ( 下转第 ３３７ 页)
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