Page 25 - 理化检验-物理分册2021年第三期

李 凯, 等: 升降法测试疲劳强度均值和标准偏差产生误差的原因

1 3 个。
7 , 当
当循环周次超过 1×10 时, 式( 1 ) 中取 +

2 ( 1 )升降法的母体是 y| 7 即 1×10 7
,

N=1 × 10
1 循环 周 次 下 的 疲 劳 强 度。 升 降 法 的 样 本 是
7
循环周次低于 1×10 时取 - 。
2
,
y|
7 7 升降法中几乎没有寿命刚好
1.2 极大似然估计 N>1 × 10 或N<1 × 10
为 1×10 循环周次的试样。因为样本并非来自于
7
升降法的统计学依据是极大似然估计。一般情
母体, 所以不能直接通过样本的均值与标准偏差来
况下给定疲劳寿命 N 下的疲劳强度 y 被认为是自
估计母体的。
由变量, 并且按照正态分布表示为

( 2 ) DIXON WJ指出传统升降法的适用范围
1
- ( x - μ )
2
y 1 σ 2 为 0.5< d / σ<2 , D>0.3 , 一个明显的问题是, 试验
P y = e y dx ( 2 )

∫ 肀 2πσ 前需要根据σ 真值来确定升降台阶d , 而σ 的真值
-
︿
式中: P ( ) 为 在 疲 劳 强 度 y 下 试 样 失 效 的 累 计 是无法获得的, 因此由式( 2 ) 可知, σ 的估计值σ 会
y
概率。 受到d 选取的影响。

在应力水平 S i = S 0 + i· d 下, 试样寿命低于 ( 3 )无论是小子样升降法还是传统升降法, 其
7
7 , 超出 1×10 循环周 统计学基础都是极大似然估计, 极大似然估计在样
1×10 循环周次的概率为 p i
, 则有 本量较少 时 偏 差 较 大, 这 种 情 况 下 应 采 用 贝 叶 斯
次的概率为 q i
1 估计 [ 8 ] 。
- ( x - μ )
2
S + i · d 2
0 1 σ y 因此讨论升降法测试疲劳强度的均值与标准偏
p i = e dx ( 3 )
-
∫ 肀 2πσ
差的误差, 应当重点关注 d / σ 、 试样数量 N 及应力
1
- ( x - μ )
2 台阶数 i 。
+ 肀 1 σ 2
q i = 1- p i = e y dx ( 4 ) 1.3 计算机模拟
∫+ i · d
S
0 2π σ
即使通过大量试验, 也只能获得材料疲劳强度
式中: x 为积分变量。
的一个统计学结果, 而无法获得真值。采用升降法
假设一条升降法的试验数据是来自总体 y ~
7
μ 级应力水平上有 n i 个试样 测试疲劳寿命为 1×10 循环周次的 30 个试样需要
N ( , σ ) 的观察值, 第S i
7 个 试 样 寿 命 超 过 一台工作频率为50Hz的疲劳试验机工作大约2 个
寿命低于 1×10 循 环 周 次, m i
月, 因此, 借助计算机模拟研究升降法测试疲劳强度
1×10 循环周次, 则似然函数为
7
n i n i m i 是一个高效、 便捷的方法。
,
L μ σ = ∏ iC n + m i · p i q i ( 5 ) P y thon是一种开源的计算机编程语言, 笔者采
·

i
若 用 P y thon中的 num py 和 sci py 两个库。首先输入
︿ ︿
,
,

L μ σ =max L μ σ ( 6 ) 试样 分 布 的 真 值 ( , σ ),为 不 失 一 般 性,令

︿ ︿ μ
,
则称 , μ σ 的极大似然估计。
μ σ 为
对式( 6 ) 求偏导为 μ =500MPa , σ=25 MPa , 然 后 由 num py .randint.
randn.normal ( , σ )( 从正态分布返回一个或多个样
μ
∂lnL μ σ
,
,
= 0 本) 函数生 成一个 服 从 正 态 分 布 N μ σ 的 样 本。

∂ μ

( 7 ) 若该样本高于其所在的应力水平, 则认为试样在该
,

∂lnL μ σ
= 0 应力水平下寿命应超过 1×10 循环周次, 否则低于
7
∂σ

当偏导数等于 0 时, 函数可能取得极值, 因此求 1×10 循环周次。程序流程与升降法测试流程保
7

极大似然估计等价于求似然函数的极大值点。一般 持一 致。 ISO12107 : 2012 和 GB / T24176-2009
情况下, 当式( 7 ) 所示的似然方程组解唯一且不在参 要求可靠性试验至少需要 30 个试样, 因此在分析
数取值范围的边界上, 即可认为其解是待求的极大 d / σ 与误差 之 间 的 关 系 时 选 择 试 样 数 量 N =30 ,

似然估计值。 d / σ=0.1 , 0.2 , 0.3 ,…, 5.0 , 每个 d / σ 下进行 1000

式( 1 ) 是 DIXON WJ给出的满足 0.5< d / σ< 次模拟试验。升降图闭合要求试样数量为偶数, 试
2 , D>0.3 情况下似然方程组的一个近似解。 样数量 N 不大于 4 时, 升降图无法满足 D 大于 0.3
根据上述推导过程, 可以发现升降法测试疲劳 的要求, 因此研究试样数量 N 与升降法测试误差之
强度的均值与标准偏差出现误差的原因主要有以下 间的关系时, 取N=6 , 8 , 10 ,…, 100 , 每个试样数量
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